Matematyka‎ > ‎

"Koszmarny" Karolek i kostka do gry

Suma oczek na przeciwległych ściankach kostek
Przypatrz się uważnie przeciwległym ściankom kostki do gry (przeciwległe to na przykład ścianka górna i dolna). Zauważasz jakąś regułę? 
Suma oczek na przeciwległych kostkach zawsze wynosi 7.

Czy można zrobić kostkę ośmiościenną, czyli z ośmioma ścianami, żeby suma oczek na przeciwległych ściankach zawsze była taka sama jak w zwykłej kostce? 
Ile ta suma by wynosiła? Spróbuj zrobić taką kostkę przy użyciu poniższego szablonu. Szare łukowate elementy służą do sklejenia.
A co z kostkami dwunastościenną czy dwudziestościenną?
 Poniższe szablony są trudniejsze w użyciu – trzeba samodzielnie wymyślić gdzie dodać zakładki do sklejenia?

Suma oczek
Wróćmy do zwykłej kostki z sześcioma ścianami.
Policz ile jest wszystkich oczek na kostce. 
Udało się? Jak to zrobiłeś – dodałeś 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6?
Można było to zrobić inaczej. Skoro na przeciwległych ściankach jest po 7 oczek, a takich par ścian jest 3 to suma wszystkich oczek wynosi 3 razy 7 czyli 21.

A jak to będzie w przypadku kostki dwudziestościennej?
Sumę 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 (ufff!) można pracowicie policzyć element po elemencie. 
Ale można też wymnożyć 21 (suma oczek na przeciwległych ściankach) przez 10 (liczba par przeciwległych ścian). Czyli suma tych wszystkich składników to 210.
Nawet jeśli ktoś szybko liczy nie będzie szybszy dodając po kolei liczby od 1 do 20.

W takim razie policzmy jeszcze ile to jest 1 + 2 + … i tak dalej aż do + 998 + 999 + 1000. Tysiącścienna kostka (przynajmniej teoretycznie da się ją zrobić) na przeciwległych ściankach ma 1001 oczek, takich par ścian jest 500 czyli ta suma wynosi 500500.

Koszmarny Karolek
Ponad dwieście lat temu żył Karol Gauss (urodził się w 1777 roku).
Pewnego razu nauczyciel w szkole, do której chodził Karolek kazał dzieciom obliczyć sumę liczb od 1 do 40. Nauczyciel sądził, że dzieci będą całą lekcję liczyły, a on będzie miał trochę spokoju. Bardzo się zdziwił, gdy po chwili Karolek zgłosił się z rozwiązaniem.
Rozwiązał to w analogiczny sposób jak opisaliśmy powyżej.

Ciąg arytmetyczny
A używając języka matematycznego Karol Gauss znalazł wtedy sposób na szybkie obliczanie sumy ciągu arytmetycznego.
Ciąg arytmetyczny to ciąg liczby, w którym kolejne elementy otrzymuje się poprzez dodanie do poprzedniego elementu ustaloną liczbę (zwaną różnicą ciągu). W naszych przykładach z wielościanami różnica ciągu wynosiła zawsze 1. Ciągi arytmetyczne z inną  różnicą ciągu to na przykład:
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …
2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, …

Karol Gauss to jeden z największych matematyków wszech czasów. 


CoperniKids - eksperymenty dla dzieci z fizyki i innych nauk ścisłych - Warszawa