Mama wyszła na zakupy. Jaś i tata Jan zostali w domu. W salonie, na stole leżał dopiero co wyciągnięty z piekarnika, jeszcze ciepły sernik. Czekał na wspólny podwieczorek całej rodziny po powrocie mamy.  Jaś przechodząc przez salon zerknął na ciasto.

- Może zjem trochę? – zamyślił się, a po chwili wziął nóż i odkroił połowę

Z połową sernika zniknął w swoim pokoju. Chwilę potem obok stołu przechodził tata. Zapach sernika nie pozwalał jednak przejść obok niego obojętnie.

- Jakiś mały wyszedł w tym tygodniu? – zdziwił się tata.

Na zdziwieniu jednak nie skończyło się. Zapach zdążył obudzić w tacie także łakomstwo. Po chwili kroił sernik na pół.

Godzinę później Jaś wyszedł nalać sobie soku. Do soku dokroił połowę z tego co jeszcze zostało z sernika.

Tata Jan i Jaś jeszcze kilka razy przechodzili obok sernika zabierając za każdym razem połowę tego co leżało na stole. Gdy do domu wróciła mama, spojrzała na stół z okruszkami pozostałymi z sernika i krzyknęła z wyrzutem w głosie:

- Zjedliście cały sernik? Przecież mieliśmy zjeść wspólny podwieczorek!

Tata i Jaś ze zdziwieniem patrzyli na pusty talerz po serniku.

- Jak to? Zawsze zostawiałem połowę ciasta – powiedział tata.

- Ja też – powiedział Jaś, ale bardziej zawstydzony niż zdziwiony.

- No tak. Braliśmy zawsze po pół ciasta i zjedliśmy w końcu całe. Trzeba było kroić po ćwiartce to byśmy zjedli tylko połowę – wyjaśnił pewnym głosem tata.

Jaś, który zajadał sernik przy odrabianiu pracy domowej dotyczącej ciągu geometrycznego, popatrzył dziwnie na tatę i z uśmiechem powiedział.

- Czego się Jaś nie nauczy tego Jan nie będzie umiał. Obawiam się, że jedząc po ćwiartce brzuchy mielibyśmy równie pełne, tylko może nogi bolałyby nas odrobinę bardziej od chodzenia.

Teoretycznie krojąc na pół to co jest na stole i zabierając jedną połowę zawsze coś jeszcze zostaje. W praktyce jednak nie jesteśmy w stanie w nieskończoność kroić ciasta. W pewnym momencie zostają okruszki, a później musielibyśmy wręcz liczyć pozostałość sernika w atomach. Przyjmijmy, że gdy zje się 99% sernika to praktycznie zjedliśmy wszystko i zostały tylko okruszki.

Jedząc sernik po połowie ubywa go w następującym tempie (kliknij na poniższe koło symbolizujące tort, zapisz otrzymany obrazek i następnie otwórz go by zobaczyć animację).

Wystarczy siedem kawałków, żeby zostały tylko okruszki (czyli mniej niż 1 procent ciasta).

Jedząc po ćwiartce sernik będzie znikał wolniej, ale też zniknie (postępuj podobnie jak powyżej by zobaczyć animację).

Tym razem potrzebne jest siedemnaście kawałków.

W obu przypadkach wielkość kolejnych kawałków ciasta tworzy ciąg geometryczny czyli ciąg, w którym kolejne elementy powstają przez pomnożenie poprzedniego elementu o pewną stałą. Jeśli ta stała jest większa od -1 i mniejsza od 1 to suma nieskończonego ciągu geometrycznego jest skończona. Można ją policzyć wzorem:

S = "pierwszy element" / (1 - "iloraz - stała przez którą mnożymy")

W pierwszym przypadku (Jan i Jaś zjadali po połowie): S = 1/2  / (1 - 1/2) = 1

W drugim przypadku (zjadanie 1/4 tego co jest aktualnie na talerzu): S = 1/4 / (1 -3/4) = 1

Zobacz także:

- Ciąg arytmetyczny

- Ciąg geometryczny z iloraz większym od jednego